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现代数学有一件很反直觉的事情,那便是数学里的一切,其实都建立于数学家的精准定义。更反直觉的是,数学家甚至能修改数学中的一些定义。

因为现代数学里最基本且至关重要的原则之一就是逻辑自洽即合理。

用人话表述就是,甭管你给出了一个定义有多离谱,但只要在一个数学体系中,所有定理和推导过程都是基于一组定义精确的公理,且这些推导跟结论没有相互矛盾,那么就是正确的。

就能在数学定义中正式存在。

比如极为经典的虚数定义:i^2=-1。

如果只有高中数学知识,看到这个式子第一反应就是这特么不是乱来吗?一个实数的平方就不可能等于负数。根据实数系统的基本性质就能得出结论,任何实数的平方都是非负的。

现在硬要规定一个数的平方等于负1……所以数学家给它取了个名字,虚数。

显然这个虚数就是被定义出来的。

方法也很简单,只要把这个i丢进实数域。先假设实数域是一个集合,包含了整数、有理数跟无理数,然后再把i放进去,这个时候在包含了i的集合里做加法跟乘法,就会发现实数跟i不可能进一步化简。

最多只能写成a+bi这种形式,这个定义就成了复数。

当曾经的数学王子高斯同学发现了这种数字形式,就要想想如何进行几何表达,于是复平面就出现了。横坐标轴代表复数的实部,纵坐标轴代表复数的虚部,任何一个复数都能在复平面上找到一个点。

再根据欧拉公式,e^iθ=cos(θ)+isin(θ),稍加变换就发现任何复数都可以表示为极坐标形式=^。

于是复数的乘法规则就被定义出来了。

复数域里两个数相乘,就等于将两个复数的模相乘,再把复数的辐角相加,也就是r1·r2·e^i(1+2)。

由此,接下来就简单了:ixi也就是i^2=1·1·e^i(90度+90度),相当于把1在实部数轴上旋转180度,最后就等于-1。

看吧,曾经的数学大佬就是这么任性的,直接定义出了虚数、复平面等等一系列乱七八糟的东西,来为难之后的学生们。通过种种在当时匪夷所思的手法,让不可能变成了可能。

显然现在乔泽也在干跟前人一样的事情。

比如这篇论文中乔泽给广义跟狭义交织性的定义。

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